Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（1）求a1，a2，a3，a4（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数

设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（1）求a1，a2，a3，a4（2）猜想数列{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．

Answer 1

（1）因为S_n=2a_n-n，
所以a₁=1，a₂=3，a₃=7，a₄=15；
（2）猜想 a_n=2ⁿ-1
证明：①n=1时成立
②假设n=k时成立，即a_k=2^k-1
则n=k+1时，S_k+1=2a_k+1-（k+1），又S_k=2a_k-k
两式相减得：a_k+1=2a_k+1
由假设及上式得：ak+1＝2(2k?1)+1
即：ak+1＝2k+1?1
所以n=k+1时也成立
由①②知a_n=2ⁿ-1，n∈N₊时成立