Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=13x3-x2-ax+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，+∞），g′

已知f（x）=xlnx，g（x）=13x3-x2-ax+2．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x∈（0，+∞），g′（x）≥f（e）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1．
令f′（x）＞0，得lnx＞-1，∴x＞

1

e

．
由于f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f（x）在(0，

1

e

)上单调递减，在(

1

e

，+∞)单调递增；
（2）由g（x）=

1

3

x³-x²-ax+2．
所以g′（x）=x²-2x-a=（x-1）²-1-a．
则g′（x）_min=-1-a．
由g′（x）≥f（e）恒成立，
得-1-a≥f（e）=e恒成立，
∴a≤-1-e．