Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：ln22×ln33×ln44

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R，a≠0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：ln22×ln33×ln44×…lnnn＜1n(n≥2，n∈N*)．

Answer 1

（Ⅰ）由于f′(x)＝

a(1?x)

x

(x＞0)，…（2分）
①当a＞0时，易知，当0＜x＜1时，f'（x）＞0，当x＞1时，f'（x）＜0；
所以f（x）的单调递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）；…（4分）
②当a＜0时，同理可知f（x）的单调递减区间为（0，1），递增区间为（1，+∞）；…（6分）
（Ⅱ）要证

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…

lnn

n

＜

1

n

(n≥2，n∈N*)成立；
只须证

lnn

n

＜

n?1

n

（n≥2，n∈N^*，）
即证lnn＜n-1（n≥2，n∈N^*，）
下面证明此式．
证明：令a=1此时f（x）=lnx-x-3，所以f（1）=-4，
由（I）知f（x）=lnx-x-3在（1，+∞）上单调递减，
∴当x∈[1，+∞）时f（x）＜f（1），即lnx-x+1＜0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，则有0＜lnn＜n-1，
故结论成立．