Question

设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-

设y=f（x）是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，则称y=f（x）是区间（a，b）上的平缓函数．（1）试证明对?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是区间（-1，1）5上的平缓函数；（2）若f（x）是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

Answer 1

（1）?x₁、x₂∈（-1，1），|f（x₁）-f（x₂）|=|x₁+x₂+k|×|x₁-x₂|（1分）．
若k≥0，则当x₁、x2∈(

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，1)时，x₁+x₂+k＞（12分），从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|（3分）；
若k＜0，则当x₁、x2∈(?1，?

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)时，x₁+x₂+k＜-1，|x₁+x₂+k|＞1（4分），
从而|f（x₁）-f（x₂）|＞|x₁-x₂|，所以对任意常数k，f（x）=x²+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数（5分）．
（2）若x₁、x₂∈[0，2]，①当|x₁-x₂|≤1时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|≤1（6分）；
②当|x₁-x₂|＞1时，不妨设0≤x₁＜x₂≤2，根据f（x）的周期性，f（0）=f（2）（7分），
|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（2）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（2）-f（x₂）|
≤|x₁|+|2-x₂|=x₁+2-x₂=2-（x₂-x₁）＜1（11分），
所以对?x₁、x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤1（12分）．
对?x₁、x₂∈R，根据f（x）的周期性（且T=2），存在p₁、p₂∈[0，2]，
使f（x₁）=f（p₁）、f（x₂）=f（p₂），从而|f（x₁）-f（x₂）|=|f（p₁）-f（p₂）|≤1（17分）．