Question

设x，y满足约束条件4x?3y+4≥04x?y?4≤0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的

设x，y满足约束条件4x?3y+4≥04x?y?4≤0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为______．

Answer 1

由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y＝?

a

b

x+

z

b

，
∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率?

a

b

＜0，
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得y＝?

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y＝?

a

b

x+

z

b

经过点A时，直线y＝?

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时z最大．
由

4x?3y+4＝0 4x?y?4＝0

，解得

x＝2 y＝4

，即A（2，4），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，
即2a+4b=8，∴a+2b=4，
则4=a+2b≥2

2ab

，
∴ab≤2
当且仅当a=2b=2，即a=2，b=1时取等号．
故答案为：2