Question

如图（1）所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计

如图（1）所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为0.8m，导轨平面与水平面夹角为α，导轨电阻不计．有一个匀强磁场垂直导轨平面斜向上，长为1m的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨电接触良好，金属棒的质量为0.1kg、与导轨接触端间电阻为1Ω．两金属导轨的上端连接右端电路，电路中R2为一电阻箱．已知灯泡的电阻RL=4Ω，定值电阻R1=2Ω，调节电阻箱使R2=12Ω，重力加速度g=10m/s2．将电键S打开，金属棒由静止释放，1s后闭合电键，如图（2）所示为金属棒的速度随时间变化的图象．求：（1）斜面倾角α及磁感应强度B的大小；（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，求金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热；（3）改变电阻箱R2的值，当R2为何值时，金属棒匀速下滑时R2消耗的功率最大；消耗的最大功率为多少？

Answer 1

（1）电键S打开，从图上得：a＝gsinα＝

△v

△t

＝5m/s²
得 sinα=

1

2

，则得α=30°
金属棒匀速下滑时速度最大，此时棒所受的安培力F_安=BIL，
又 I=

BLvm

R总

，R总＝Rab+R1+

R2RL

R2+RL

＝(1+2+

4×12

4+12

)Ω＝6Ω，
从图上得：v_m=18.75m/s，
由平衡条件得：mgsinα=F_安，所以mgsinα=

B2L2vm

R总

得：B＝

mgsinα?R总 Vm?L2

＝

0.1×10× 1 2 ×6 18.75×0.82

T=0.5T；         
（2）由动能定理：mg?S?sinα?Q＝

1

2

mvm2?0
得  Q＝mg?S?sinα?

1

2

mvm2=32.42J；                            
（3）改变电阻箱R₂的值后，金属棒匀速下滑时的速度为v_m′，则有
mgsinα=BI_总L，R并′＝

R2RL

R2+RL

＝(

4R2

4+R2

)Ω，
R₂消耗的功率：P₂=

U 2 并

R2

=

(I总R并′)2

R2

=

( mgsinα BL ?R并′)2

R2

=(

mgsinα

BL

)2?

( 4R2 4+R2 )2

R2

=(

mgsinα

BL

)2×

16R2

16+8R2+R22

＝(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

当R₂=4Ω时，R₂消耗的功率最大：
P_2m=(

mgsinα

BL

)2×

16

16 R2 +8+R2

＝

25

16

W=1.5625W．              
答：
（1）斜面倾角α是30°，磁感应强度B的大小是0.5T；
（2）若金属棒下滑距离为60m时速度恰达到最大，金属棒由静止开始下滑100m的过程中，整个电路产生的电热是32.42J；
（3）改变电阻箱R₂的值，当R₂为4Ω时，金属棒匀速下滑时R₂消耗的功率最大，消耗的最大功率为1.5625W．