Question

一道高中数学题

在数列｛a n｝中 a1=1,a n+1=2a n＋2的n次幂，
1，求a n 2,求Sn
这道题的第一个答案是（2^n-1）×（n） 我算对了，第二个答案老师说用错位相减发来算，我没算出来，能把过程写下来吗？答案是 (n-1)2^n+1,谢谢

Answer 1

记bn=an/(2^n)，原等式两边同除以2^(n+1)，则b_{n+1}=b_n+1/2，b1=a1/2=1/2，故bn=n/2，故an=2^n*n/2=2^(n-1)*n。
Sn=∑2^(n-1)*n=∑[2^n*n-2^(n-1)*(n-1)]-∑[2^(n-1)]=2^n*n-0-(2^n-1)=2^n*(n-1)+1
除了裂项，对于2^(n-1)*n求和，还有更一般的解法。由于(x^n)'=n*x^(n-1)（对x求导），故∑n*x^(n-1)=∑(x^n)'=[∑(x^n)]'={[x-x^(n+1)]/(1-x)}'={[1-(n+1)x^n]*(1-x)-[x-x^(n+1)](-1)}/(1-x)^2=[1-(n+1)x^n]/(1-x)+[x-x^(n+1)]/(1-x)^2。所以∑n*2^(n-1)=(n+1)2^n-1+2-2^(n+1)=(n-1)2^n+1