Question

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 AB 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是 AB 上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在 AB 上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2 +3CH 2 是定值．

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Answer 1

（1）证明：连接OC交DE于M． 由矩形得OM=CM，EM=DM． ∵DG=HE． ∴EM-EH=DM-DG． ∴HM=GM． ∴四边形OGCH是平行四边形． （2）DG不变． 在矩形ODCE中，∵DE=OC=3． ∴DG=1． （3）证明：设CD=x，则CE= 9- x 2 ．过C作CN⊥DE于N． 由DE?CN=CD?EC得CN= x 9- x 2 3 ． ∴ DN= x 2 - ( x 9- x 2 3 ) 2 = x 2 3 ． ∴HN=3-1- x 2 3 = 6- x 2 3 ． ∴3CH 2 =3[（ 6- x 2 3 ） 2 +（ x 9- x 2 3 ） 2 ]=12-x 2 ． ∴CD 2 +3CH 2 =x 2 +12-x 2 =12．