Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.

Answer 1

B= ，△ABC是等边三角形

方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, ∴2(2cos 2 B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos 2 B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB= 或cosB= （舍去）.∴cosB= . ∵0＜B＜ ,∴B= . ∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b. ∴cosB= = = ， 化简得a 2 +c 2 -2ac=0,解得a=c. 又∵B= ，∴△ABC是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0， ∴2（2cos 2 B-1）-8cosB+5=0. ∴4cos 2 B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB= 或cosB= （舍去）. ∴cosB= ,∵0＜B＜ ,∴B= , ∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin = . ∴sinA+sin = ， ∴sinA+sin -cos = . 化简得 sinA+ cosA= ,∴sin  =1. ∴A+ = ,∴A= , ∴C= ,∴△ABC为等边三角形.