Question

已知函数f（x）=ax-ax-2lnx（a≥0），g（x）=x+1．（1）求证：ex≥g（x）；（2）若函数f（x）在其定义域

已知函数f（x）=ax-ax-2lnx（a≥0），g（x）=x+1．（1）求证：ex≥g（x）；（2）若函数f（x）在其定义域内是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：e^x≥g（x）即e^x-x-1≥0；
令h（x）=e^x-x-1，则h′（x）=e^x-1．
令h′（x）=0，解得x=0．当x＞0时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；当x＜0时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减．
∴当x=0时，函数h（x）取得极小值即最小值，∴h（x）≥h（0）=e⁰-0-1=0．
∴e^x-x-1≥0即e^x≥g（x）；
（2）函数f（x）=ax-

a

x

-2lnx（a≥0，x＞0），
∴f′（x）=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2?2x+a

x2

．
∵函数f（x）在其定义域内是单调函数，且a≥0．
∴f′（x）≥0恒成立，即ax²-2x+a≥0恒成立．
当a=0时，化为-2x≥0，即x≤0，不满足x＞0，应该舍去．
当a＞0时，由ax²-2x+a≥0恒成立，∴△=4-4a²≤0，解得a≥1．
综上可得：a的取值范围是a≥1．