Question

（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y

（2014?湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=12AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（-4，4）．①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①∵AC∥x轴，A点坐标为（-4，4）．
∴点C的坐标是（0，4）
把A、C两点的坐标代入y=-x²+bx+c得，

4＝?16?4b+c 4＝c

，
解得

b＝?4 c＝4

；
②四边形AOBD是平行四边形；
理由如下：
由①得抛物线的解析式为y=-x²-4x+4，
∴顶点D的坐标为（-2，8），
过D点作DE⊥AB于点E，
则DE=OC=4，AE=2，
∵AC=4，
∴BC=

1

2

AC=2，
∴AE=BC．
∵AC∥x轴，
∴∠AED=∠BCO=90°，
∴△AED≌△BCO，
∴AD=BO．∠DAE=∠OBC，
∴AD∥BO，
∴四边形AOBD是平行四边形．

（2）存在，点A的坐标可以是（-2

2

，2）或（2

2

，2）
要使四边形AOBD是矩形；
则需∠AOB=∠BCO=90°，
∵∠ABO=∠OBC，
∴△ABO∽△OBC，
∴

BC

OB

=

BO

AB

，
又∵AB=AC+BC=3BC，
∴OB=

3

BC，
∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=

2

BC，AC=

2

OC，
∵C点是抛物线与y轴交点，
∴OC=c，
∴A点坐标为（-

2

c，c），
∴顶点横坐标

b

2

=

2

2

c，b=

2

c，
∵将A点代入可得c=-（-

2

c）²+

2

c?

2

c+c，
∴横坐标为±

2

c，纵坐标为c即可，
令c=2，
∴A点坐标可以为（2

2

，2）或者（-2

2

，2）．