Question

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3x）+f

定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log23且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若f（k?3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围为（　　）A．（-1，-1+22）B．（-∞，-1+22）C．（-∞，-1）D．[-1+22，+∞）

Answer 1

令x=y=0，得出f（0）=2f（0）?f（0）=0．
又根据f（3）=log₂3＞0=f（0），f（x）是R上的单调函数进一步确定出f（x）是R上的单调递增函数．
因此f（k?3^x）+f（3^x-9^x-2）=f（k?3^x+3^x-9^x-2）＜0=f（0）?k?3^x+3^x-9^x-2＜0?k＜3^x+

2

3x

-1，
根据基本不等式得到3^x+

2

3x

-1≥2

3x× 2 3x

?1=2

2

-1，当且仅当3^x=

2

，即x=

1

2

log32时取等号，
因此k＜3^x+

2

3x

-1对任意x∈R恒成立?k＜3^x+

2

3x

-1的最小值，即k＜-1+2

2

．
故选B．