Question

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|

在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意x1，x2（x1≠x2），|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|恒成立”的只有（　　）A．f（x）=1xB．f（x）=|x|C．f（x）=2D．f（x）=x2

Answer 1

因为对于区间（1，2）上的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”
所以函数图象上任意两点连线的斜率的绝对值小于1即可，又因为四个函数均是（1，2）上的可导函数，则在（1，2）内总能找到一条切线平行于任意两点连线，则问题即转化为
在（1，2）上四个函数的导数绝对值是否满足恒在（0，1）取值即可，
对于A：|f′（x）|=

1

x2

，当x∈（1，2）时，f′(x)∈(

1

4

，1)?（0，1），故A符合题意；
对于B：由题意f（x）=x，f′（x）=1，故B不满足题意；
对于C：函数f（x）=2x，所以f′（x）=2＞1，故C不满足题意；
对于D：f′（x）=2x，当x∈（1，2）时，f′（x）∈（2，4），故D不满足题意．
故选：A．