Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC

已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．（1）求证：∠ADE=∠CDF；（2）如果∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．

Answer 1

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠C，DC∥AB，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，
∴∠ADE=∠CDF．

（2）证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，
∴∠DAP=∠BAP，
∵DC∥AB，
∴∠DPA=∠BAP，
∴∠DAP=∠DPA，
∴DA=DP，
∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，
∴△DAM≌△DPN，
∴DM=DN，
∵∠B=120°，
∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，
∴△DMN是等边三角形．