Question

（2012?重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离

（2012?重庆）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点（Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值．

Answer 1

解：（I）由AC=BC，D为AB的中点，得CD⊥AB．又CD⊥AA₁．
故CD⊥平面A₁ABB₁．
所以点C到平面A₁ABB₁的距离为CD=

BC2?BD2

=

5

（II）解法一：如图1，取D₁为A₁B₁的中点，连接DD₁，则DD₁∥AA₁∥CC₁．
又由（I）知CD⊥平面A₁ABB₁．故CD⊥A₁D，CD⊥D₁D，所以∠A₁DD₁为所求的二面角A₁-CD-C₁的平面角．因A₁D为A₁C在面A₁ABB₁中的射影，又已知AB₁⊥A₁C由三垂线定理的逆定理得AB₁⊥A₁D．从而∠A₁AB₁、∠A₁DA都与∠B₁AB互余．因此∠A₁AB₁=∠A₁DA，所以Rt△A₁AD∽Rt△B₁A₁A．因此AA₁：AD=A₁B₁：AA₁，即AA₁²=AD?A₁B₁=8，得AA₁=2

2

，从而A₁D=

AA 12+AD2

=2

3

．所以Rt△A₁D₁D中，cos∠A₁DD₁=

DD 1

A 1D

=

AA 1

A 1D

=

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