Question

设函数f(x)=x-1/x,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，则实数M的取值范围是

不是 这道题就做错了
之前我看这个答案来

Answer 1

显然m≠0， f（mx）=mx-1/mx
＝＞f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+m-m/x<0
＝＞2mx<(1+m^2)/m
①m>0时 x<(1+m^2)/m^2 不能满足,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，故舍去
②m<0时，x>(1+m^2)/m^2 要是不等式成立(1+m^2)/m^2 <1,解得m<-1

解法2：f(mx)+mf(x)=(2*m^2*x^2-m^2-1)/mx 小于0 在x属于1到正无限 恒成立
Δ=8m^2(m^2+1)一定是大于0 的
当m大于0 时候 (2*m^2*x^2-m^2-1)/mx小于0 那么 分子要小于0.
分子是开口朝上的二次函数 并且对称轴在Y轴而且有2个根。
所以他在【1.正无穷)不可能恒小于0
当m小于0的时候 那么要分子大于0
很容易可以知道当分子这个函数x=1的时候大于0时候等式一定成立
。。。。。也就是m^2大于1 m大于1（舍） or m小于负1
综上所述 m小于-1

Answer 2

f（mx）+mf（x）=mx-1/(mx)+m(x-1/x)=2mx-(m+1)/(mx)=(2m²x²-m²-1)/(mx)<0因x≥1>0 m≠01. m<0时 mx<0只需2m²x²-m²-1>0x²>(m+1)/2m²恒成立因为x∈[1,∞),所以只需1²>(m+1)/2m²(2m²-m²-1)/2m²>0(2m+1)(m-1)/m²>0即m²>1解得m<-1或m>1所以m<-12. m>0时 mx>0只需2m²x²-m-1<0x²<(m+1)/2m²恒成立但对一切x≥1，不可能始终满足条件所以不存在这样的m综上：m<-1

我们的假期作业，这里是标准答案哦~

Answer 3

分析：已知f（x）为增函数且m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论即可得出答案．解答：解：已知f（x）为增函数且m≠0，
当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数，
此时不符合题意．
当m＜0时，有mx-
1mx+mx-
mx＜0⇒2mx-(m+
1m)•
1x＜0⇒1+
1m2＜2x2
因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
所以1+1m2＜2，
即m2＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）．
故答案为：m＜-1．