Question

(本题12分) 如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如4=2 2 －0

(本题12分) 如果一个正整数能够表示为两个连续的偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”.如4=2 2 －0 2 ；12=4 2 －2 2 ；20=6 2 －4 2 .因此4、12、20这三个数都是神秘数.(1)请你写出50以内的两个神秘数（除4、12、20外），并判断2012是否是神秘数？（不要说明理由）(2)设两个连续偶数为2 +2和2 (其中 为非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗?说明理由.(3)试说明：两个连续奇数的平方差(取正数)不是神秘数.

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Answer 1

解：（1）根据题意，得        …… 所以50以内的神秘数有28，36等。 设 ，解得k=251 即  所以2012是神秘的数。 （2）因为 所以由两个连续偶数2k+2和2k的平方差构成的神秘数是4的倍数。 （3）设2k+1和2k-1是两个连续的奇数，则 即两个连续的奇数的平方差是8的倍数，所以肯定是4的倍数，根据（2）的结论是4的倍数就可以写成两个连续偶数的平方差，所以两个连续奇数的平方差也是神秘的数。