Question

如图，在 中，∠C=90 。 ，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且 。 （1）判断直线AC与△D

如图，在 中，∠C=90 。 ，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且 。 （1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=6，AE=6 ，求△DBE外接圆的半径及CE的长。

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Answer 1

（1）答：直线AC与△DBE的外接圆相切 证明：∵ DE⊥BE ∴ BD是Rt△DBE外接圆的直径             ∴ 取BD的中点O，连接OE。              ∵ BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE                  又 ∵ OB=OE， ∴∠OBE=∠BEO， ∴∠CBE=∠BEO， ∴BC∥OE               ∵∠C=90°， ∴OE⊥AC， ∴AC是△BDE的外接圆的切线。 （2）设⊙O的半径为r，则在Rt△AOE中，AD=6，AO=r+6，AE=6 ，              即       解得 r=3 , ∴ △BDE的外接圆的半径是3.              过点E作EF⊥AB于F， ∵ BE平分∠ABC，∠C=90° ∴ EF=EC ，               在Rt△AOE中， AO=6+3=9， ，EF=               = =2   ∴ CE=EF=2                 ∴ 外接圆的半径为3，CE的长为2