Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点 (0，- 3 ) ， (0， 3 ) 的距离之和等于4，设点P

在直角坐标系xOy中，点P到两点 (0，- 3 ) ， (0， 3 ) 的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）过点 (0， 3 ) 作两条互相垂直的直线l 1 、l 2 分别与曲线C交于A、B和C、D，以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能，求直线AB的斜率，若不能说明理由．

Answer 1

（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 (0，- 3 )，(0， 3 ) 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 b= 2 2 - ( 3 ) 2 =1 ，故曲线C的方程为 x 2 + y 2 4 =1 ． （2）设直线 l 1 ：y=kx+ 3 ，分别交曲线C于A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ），其坐标满足 x 2 + y 2 4 =1 y=kx+ 3 . 消去y并整理得 ( k 2 +4) x 2 +2 3 kx-1=0 ， 故 x 1 + x 2 =- 2 3 k k 2 +4 ， x 1 x 2 =- 1 k 2 +4 ． 以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，则 OA ⊥ OB ，即x 1 x 2 +y 1 y 2 =0． 而 y 1 y 2 = k 2 x 1 x 2 + 3 k( x 1 + x 2 )+3 ， 于是 x 1 x 2 + y 1 y 2 =- 1 k 2 +4 - k 2 k 2 +4 - 6 k 2 k 2 +4 +3=0 ，化简得-4k 2 +11=0，所以 k=± 11 2