Question

已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距为2，离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）设直线 经过点 （0,1

已知椭圆中心在原点，焦点在 轴上，焦距为2，离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）设直线 经过点 （0,1），且与椭圆交于 两点，若 ，求直线 的方程.

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Answer 1

（1） ；（2） 或 .

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程等基础知识，考查用代数法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，先利用椭圆的焦距、离心率求出基本量，写出椭圆方程；第二问，由于直线经过（0,1）点，所以先设出直线方程，与椭圆联立，消参得到关于x的方程，先设出 点坐标，通过方程得到两根之和、两根之积，再由 ，得出 ，联立上述表达式得k的值，从而得到直线方程. 试题解析：(1)设椭圆方程为 ， 因为 ，所以 ， 所求椭圆方程为                                 4分 （2）由题得直线 的斜率存在，设直线 方程为 则由 得 , 设 ，则由 得    ..8分 又 ， 所以 消去 得 解得 所以直线 的方程为 ，即 或       12分