Question

（2012?简阳市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，

（2012?简阳市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AE=DE，DF=2，求⊙O的半径．





Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵OD=OB，
∴∠B=∠1，
∴∠C=∠1，
∴OD∥AC．
∴∠2=∠FDO，
∵DF⊥AC，
∴∠2=90°，
∴∠FDO=90°，
∵OD为半径，
∴FD是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴∠3=∠4．
∴弧ED=弧DB
而弧AE=弧DE，
∴弧DE=弧DB=弧AE，
∴∠B=2∠4，
∴∠B=60°，
∴∠C=60°，△OBD为等边三角形，
在Rt△CFD中，DF=2，∠CDF=30°，
∴CF=

3

3

DF=

2 3

3

，
∴CD=2CF=

4 3

3

，
∴DB=

4 3

3

，
∴OB=DB=

4 3

3

，
即⊙O的半径为

4 3

3

．