Question

已知函数f（x）=alnx-2ax+b．函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x+1，（1）求a，b的

已知函数f（x）=alnx-2ax+b．函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是y=2x+1，（1）求a，b的值；（2）问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[m2+f′（x）]在区间（t，3）上总存在极值？

Answer 1

（1）因为函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为2，
所以f'（1）=2，所以a=-2，则 f（1）=4+b代入切线可得b=-1，
（2）g(x)＝x3+x2(

m

2

+4?

2

x

)＝x3+(

m

2

+4)x2?2x，g'（x）=3x²+（m+8）x-2，
因为任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3+x2[

m

2

+f′(x)]在区间（t，3）上总存在极值，
又g'（0）＜0，所以只需

g′(2)＜0 g′(3)＞0

，
解得?

49

3

＜m＜?13．