Question

已知：直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）（1）求证：椭圆过定点；（2）若椭

已知：直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）（1）求证：椭圆过定点；（2）若椭圆的离心率在[33，22]上变化时，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

（1）证明：由

mx2+ny2＝1 x+y＝1

?(m+n)x2?2nx+n?1＝0…（2分）
由△=4n²-4（m+n）（n-1）＞0得：m+n-mn＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则：x1+x2＝

2n

m+n

，x1x2＝

n?1

m+n

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
得

2(n?1)

m+n

?

2n

m+n

+1＝0，即

1

2

m+

1

2

n＝1．
∴椭圆恒过定点(

2

2

，

2

2

)，(

2

2

，?

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