Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=34．（1）求cosC，cosB的值；（2）若S△ABC=1547

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C=2A，cosA=34．（1）求cosC，cosB的值；（2）若S△ABC=1547，求边AC的长．

Answer 1

（1）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴cosC=2cos²A-1=

1

8

，
∴sinC=

3 7

8

，sinA=

7

4

，
则cosB=-cos（A+C）=sinAsinC-cosAcosC=

9

16

；
（2）∵S_△ABC=

15 7

4

，sinB=

5 7

16

，
∴

1

2

acsinB=

27

2

，即ac=24①，
又由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：c=

3

2

a②，
联立①②，解得：a=4，c=6，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=25，
解得：b=5．