Question

已知：如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、

已知：如图（1），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．小聪同学的思路是：通过证明△BDA≌△AEC，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图（2），将已知中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（2）拓展与应用：如图（3），D、E是过点A的直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer 1

解答：证明：（1）DE=BD+CE成立．
理由：∵∠BDA=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中

∠BDA＝∠AEC ∠DBA＝∠CAE BA＝AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）△DEF为等边三角形
理由：∵△ABF和△ACF均为等边三角形
∴BF=AF=AB=AC=CF，∠BAF=∠CAF=∠ABF=60°，
∴∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°，
∴∠DBA+∠DAB=∠CAE+∠DAB=60°，
∴∠DBA=∠CAE．
在△BAD和△ACE中

∠BDA＝∠AEC ∠DBA＝∠CAE BA＝AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴BD=AE，∠DBA=∠CAE．
∵∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE．
在△BDF和△AEF中

FB＝FA ∠DBF＝∠FAE BD＝AE

∴△DBF≌△EAF（SAS）
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°
∴△DEF为等边三角形．