Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B2+bsin2A2＝c2（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2B2+bsin2A2＝c2（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若a-b=4，△ABC的最大内角为120°，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）由正弦定理和降幂公式，可得
将asin2

B

2

+bsin2

A

2

＝

c

2

化为：sinA?

1?cosB

2

+sinB?

1?cosA

2

＝

1

2

sinC
即sinA（1-cosB）+sinB（1-cosA）=sinC，结合sinC=sin（A+B）
得sinA-sinAcosB+sinB-cosAsinB=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
∴sinA+sinB=2（sinAcosB+cosAsinB）=2sin（A+B）=2sinC
即sinA+sinB=2sinC，
再由正弦定理，得a+b=2c，故a，c，b为等差数列…（6分）
（Ⅱ）∵a-b=4，且a+b=2c
∴联列

a+b＝2c a?b＝4

可得

a＝c+2 b＝c?2

，
∵最大内角为120°，且a为最大边
∴cosA=cos120°＝

b2+c2?a2

2bc

＝?

1

2

，解之得c=5且b=3…（10分）
故△ABC的面积S△ABC＝

1

2

bcsinA＝

15

4

3

…（12分）