Question

设A，B分别为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为右焦点，l为Γ在点B处的切线，P为Γ上异于A

设A，B分别为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为右焦点，l为Γ在点B处的切线，P为Γ上异于A，B的一点，直线AP交l于D，M为BD中点，有如下结论：①FM平分∠PFB； ②PM与椭圆Γ相切；③PM平分∠FPD； ④使得PM=BM的点P不存在．其中正确结论的序号是______．

Answer 1

不妨取P为上顶点，则P（0，b），M（a，b），F（c，0），则
k_FM=

b

a?c

，k_PF=-

b

c

，∴tan∠PFM=

? b c ? b a?c

1+(? b c )? b a?c

=

b

a?c

，
∴∠PFM=∠MFB，∴FM平分∠PFB，即①成立；
由于P（0，b），M（a，b），∴PM与椭圆Γ相切，即②成立；
于是PM平分∠FPT，故③不成立；
若PA⊥PB，则PM为Rt△BDP的斜边中线，PM=BM，这样的P有4个，故④不成立．
故答案为：①②．