已知,抛物线y=ax2+bx-3a经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2
已知,抛物线y=ax2+bx-3a经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D与C关于抛物线的对称轴对称,求点D关于直...
已知,抛物线y=ax2+bx-3a经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D与C关于抛物线的对称轴对称,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接DB,问在抛物线上是否存在一点M,使∠DBM=45°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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(1)由题意得:将A(-1,0),C(0,-3)代入y=ax2+bx-3a得:
,
解得
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的另一个交点是B(3,0),
则点C关于抛物线对称轴的对称点D(2,-3),
∴CD=2,且CD∥AB
∵OC=OB=3,且∠COB=90°,
∴∠OCB=∠BCD=45°
过点D作DD′⊥BC交y轴于点D′,则CD′=CD=2;
∴点D′(0,-1)
即点D关于直线BC对称点的坐标为D′(0,-1);
(3)假设存在这样的点M,使∠DBM=45°,设BM交y轴于点P;
∵∠OBC=∠DBM=45°,
∴∠OBP=∠CBD;
过点D作DE⊥BC,
∵∠BCD=45°,CD=2,∴CE=DE=
,
∴BE=BC-CE=2
;
又∵∠BED=∠BOP=90°,
∴△BOP∽△BED,
∴
=
,
∴OP=1.5,即P(0,-1.5);
∴直线BP的解析式为:y=
x-
;
∴抛物线与直线BP的交点M
,
解得
或
(不合题意,舍去)
∴存在这样的点M,即M(-
,-
).
|
解得
|
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)∵抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴的另一个交点是B(3,0),
则点C关于抛物线对称轴的对称点D(2,-3),
∴CD=2,且CD∥AB
∵OC=OB=3,且∠COB=90°,
∴∠OCB=∠BCD=45°
过点D作DD′⊥BC交y轴于点D′,则CD′=CD=2;
∴点D′(0,-1)
即点D关于直线BC对称点的坐标为D′(0,-1);
(3)假设存在这样的点M,使∠DBM=45°,设BM交y轴于点P;
∵∠OBC=∠DBM=45°,
∴∠OBP=∠CBD;
过点D作DE⊥BC,
∵∠BCD=45°,CD=2,∴CE=DE=
2 |
∴BE=BC-CE=2
2 |
又∵∠BED=∠BOP=90°,
∴△BOP∽△BED,
∴
BO |
BE |
OP |
DE |
∴OP=1.5,即P(0,-1.5);
∴直线BP的解析式为:y=
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3 |
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∴抛物线与直线BP的交点M
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解得
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∴存在这样的点M,即M(-
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