Question

抛物线y^2=2px上横坐标为4的点到抛物线的焦点距离为5

（1）求抛物线的标准方程
（2）过点M（1,0）作直线l交抛物线C于A，B两点，求证：1∕ |AB|+1∕ |BM|恒为定值

Answer 1

1，抛物线y^2=2px上横坐标为4的点到抛物线的焦点距离为5 ，说明纵坐标为±3。用的是直角三角形。说明图像过（4，3）和（4，-3）点，代入y^2=2px，解得2p=9/4,即y^2=9/4x
2，当AB斜率不存在时，即与x轴垂直，A坐标为（1，3/2)，B坐标(1,-3/2)。|AB|=3 |BM|=3/2
1∕ |AB|+1∕ |BM|=1
当AB斜率存在时，设斜率为k，AB方程为：y=k(x-1).用弦长公式求|AB|.设B（x1,y1).B到准线距离就是 |BM|。准线方程为：x=-9/16
最后代入化简得到1∕ |AB|+1∕ |BM|=1

Answer 2

(1)，根据抛物线的定义，知：抛物线上的任一点到焦点距离与到准线的距离相等。
抛物线：y^2=2px，的焦点（p/2，0），准线方程：x=-p/2。
依题意。可知：4+p/2=5，p=2。
所以抛物线的标准方程为：y^2=4x。
(2)，当直线L的斜率不存在时，直线方程为：x=1，
代入y^2=4x，得：y=-2，或2，故A、B坐标为（1，-2），（1，2），
所以 |AB|=4，|BM|=2，1∕ |AB|+1∕ |BM|=3/4。
当直线L的斜率存在时，设为k，则直线方程为：y=k(x-1)
代入y^2=4x，得： k^2*x^2-(2k^2+4)x+k^2=0，
所以 x1+x2=(2k^2+4)/k^2， x1x2=1；
故 (x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16*(k^2+1)/k^4。
又 y1-y2=k(x1-x2)，
所以 |AB|=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2]=4(k^2+1)/k^2。
|BM|=√[(x1-1)^2+y1^2]=√(k^2+1)*(x1-1)， (x1>1)
又M点为抛物线C的焦点，所以|BM|=x1+1，
所以√(k^2+1)*(x1-1)=x1+1，x1=[√(k^2+1)+1]/[√(k^2+1)-1]，
所以 |BM|=2√(k^2+1)/[√(k^2+1)-1]。
所以1∕ |AB|+1∕ |BM|=k^2/4(k^2+1)+[√(k^2+1)-1]/2√(k^2+1)
=？？？

Answer 3

1）由已知得，点A到准线x=-p/2的距离为4+p/2 =5
则，p=2，即方程为y²=4x

2）因为A（4，y）到焦点（1，0）的距离为5
且y＞0，所以，y=4，即A（4，4）
则B（0，4）；M（0，2）。
因为FA方程为y=（4/3）x+1,则MN斜率为-3/4
得N（12/25,41/25）