设f(x)=lim(n→∞) n*[(1+x/n)^n-e^x] ,求f(x)的显示表达式
计算过程如下：
lim [（1+x/n）^n-e^x]/1/n
=lim[e^nln（1+x/n） -e^x]/1/n
=e^xlim[e^nln（1+x/n）-x -1]/1/n
=e^xlim[nln（1+x/n）-1]/1/n
=e^xlim[ln（1+x/n）-1/n]/1/n²
=- e^x/2lim[nx-n³x/（n²+nx）]
=-e^x/2lim n²x²/（n²+nx）
=x²e^x/2
扩展资料：
一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的，
比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
f(x-1)
=lim(n→+∞)((n+x)/n)^n
=lim(n→+∞)(1+x/n)^n
=lim(n→+∞)(1+x/n)^(n/x·x)
=[lim(n→+∞)(1+x/n)^(n/x)]^x
=e^x
令t=x-1，则x=t+1
所以，f(t)=e^(t+1)
所以，f(x)=e^(x+1)
扩展资料
某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
求极限基本方法有
1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
=lim[e^nln（1+x/n） -e^x]/(1/n)
<e^x-1~x>
=e^xlim[e^nln（1+x/n）-x -1]/(1/n)
=e^xlim[nln（1+x/n）-x]/(1/n)
=e^xlim[ln（1+x/n）-x/n]/(1/n²) <x-ln(1+x)~x²/2>
=e^xlim(-x²/2n²)/（1/n²)
=-x²e^x/2
