设f(x)=lim(n→∞) n*[(1+x/n)^n-e^x] ,求f(x)的显示表达式
计算过程如下:
lim [(1+x/n)^n-e^x]/1/n
=lim[e^nln(1+x/n) -e^x]/1/n
=e^xlim[e^nln(1+x/n)-x -1]/1/n
=e^xlim[nln(1+x/n)-1]/1/n
=e^xlim[ln(1+x/n)-1/n]/1/n²
=- e^x/2lim[nx-n³x/(n²+nx)]
=-e^x/2lim n²x²/(n²+nx)
=x²e^x/2
扩展资料:
一般来说,N随ε的变小而变大,因此常把N写作N(ε),以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的,
比如若n>N使|xn-a|<ε成立,那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立。重要的是N的存在性,而不在于其值的大小。
f(x-1)
=lim(n→+∞)((n+x)/n)^n
=lim(n→+∞)(1+x/n)^n
=lim(n→+∞)(1+x/n)^(n/x·x)
=[lim(n→+∞)(1+x/n)^(n/x)]^x
=e^x
令t=x-1,则x=t+1
所以,f(t)=e^(t+1)
所以,f(x)=e^(x+1)
扩展资料
某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A,但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
求极限基本方法有
1、分式中,分子分母同除以最高次,化无穷大为无穷小计算,无穷小直接以0代入;
3、运用洛必达法则,但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大,或无穷小比无穷小,分子分母还必须是连续可导函数。
4、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开,而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。
=lim[e^nln(1+x/n) -e^x]/(1/n)
<e^x-1~x>
=e^xlim[e^nln(1+x/n)-x -1]/(1/n)
=e^xlim[nln(1+x/n)-x]/(1/n)
=e^xlim[ln(1+x/n)-x/n]/(1/n²) <x-ln(1+x)~x²/2>
=e^xlim(-x²/2n²)/(1/n²)
=-x²e^x/2
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