Question

请问对勾函数f(x)=x+1/x的奇偶性怎么证？ 如果有图会更好谢谢~

Answer 1

首先,定义域 x≠0,关于原点对称
f(-x) = - x - k/x = - f(x)
所以是奇函数


当k<0时,f(x) 在(-∞,0),(0,+∞)均单调递增,值域为R
当k=0时,f(x) = x,x≠0,单调递增,值域为 (-∞,0)∪(0,+∞)
但以上两者都不是对勾函数
当k>0时,f(x)才是对勾函数
f(x) = x + k/x ,（k>0）
f'(x) = 1 - k/x² = 0
解得 x = ±√k
x         (-∞,-√k)     -√k      (-√k,0)   (0,√k)      √k         (√k,+∞)
f'(x)        ＋            0              －           －           0               ＋
f(x)         增        极大值        减            减       极小值          增


当x<0时,x= -√k处取得最大值,f(-√k) = - 2√k
当x>0时,x= √k 处取得最小值,f(√k) = 2√k
值域：(-∞,-2√k]∪[2√k,+∞)
注意：就整个函数而言是没有最值的,上面的最值只是x<0和x>0部分的最值. 


附：y=x+k/x的图像（点击可查看大图）
红色：k>0,以k=1为例
紫色：k=0
蓝色：k<0,以k= -1为例

追问

不是非奇非偶么

在网上看到有

追答

能证明出f(-x) = - f(x)的函数就是奇函数