Question

固体物理学问题，不懂勿入！！！求大神，求一维单原子链的振动模式密度那道题，主要讲下若格波的色散可以

固体物理学问题，不懂勿入！！！求大神，求一维单原子链的振动模式密度那道题，主要讲下若格波的色散可以忽略g(ω)那块，还有gradω=dω/sq是公式么？对g(ω)dω这东西概念不是很理解，麻烦简单说一下，小妹真的是看书看不懂才求助的啊跪谢了啊啊！！

Answer 1

w是晶格振动的角频率，k是晶格振动的波矢量；w=w(k)是k的函数，dw(k)/dk是晶格振动的传播群速度vg(k)，如果vg(k)是一个常函数，则说lattice vibration（格波）没有色散；

单原子链的lattice vibration的声学支为：w(k)=(4C/M)^(1/2)|sin(Ka/2)|
而无色散情况，w(k)=vg*k；（这个线性函数与上面的函数相切于k=0）

因为通常情况下晶体的尺寸L是远大于晶格常数a的，在k空间每个晶格振动模式的间隔为（△k）：
2π/L<<π/a，这里-π/a<k≤π/a （利用periodic boundary conditions，波函数=Aexp(ikx)，波函数在x=0的值与x=L的值相等，kL=2nπ，k的增量△k=2π/L）
所以k可以认为是连续取值的；
这样通过得知k的增量dk，除以单个模式的增量(2π/L)，我们就能够算出在这一增量空间中（dk）的模式数量了；

一维情况下，|k|一定时，增加dk，有正和负两个方向，增量范围有2dk
则其中的模式数为：
N=2dk/(2π/L)=Ldk/π

可见模式数与晶体的尺寸成正比，为了更直观地反映晶格的结构性质，我们仅仅考虑单位尺寸的模式数，这样：
N=dk/π

通过高数的链式法则，
N=dw/π*(dk/dw)

定义模式数在w维度上的密度函数g(w)，则在w维度的增量范围dw上的模式数为：
N=g(w)dw=(π/vg(k))*dw
g(w)=π/vg(k)

这样，通过比较两种情况下的vg(k)形式，我们可以比较g(w)曲线