Question

一道高中数学立体几何题，有点难

设三棱柱的侧棱都垂直于底面，所有的棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为？（结果必须是π、a的平方、分数或整数这三者的乘积的形式）

Answer 1

假定三棱柱 为 ABC－A‘B’C‘ ，球心为 O
考虑四面体OABC是一个正三棱锥，其底面ABC是正三角形，过O点的高为a/2，这是因为三棱柱ABC－A‘B’C‘的高即为其侧棱AA'＝a，考虑到两个四面体OABC和OA‘B’C‘是对称的，故四面体OABC的高OH＝a/2其中H是正三角形ABC的重心。
三角形OHA是个直角三角形，OH＝a/2，HA=a/√3(利用平面几何的知识)，由勾股定理可以计算斜边OA＝a(√21)/6=R
球的表面积为S＝4π R^2=7πa^2/3

Answer 2

作任意体对角线，和相应的底面对角线，则构成一直角三角形，由圆和球面的性质知这条体对角线是球的一个大圆的直径，易知r等于二分之根号二a，所以表面积为2πa^2.

Answer 3

r=『（根号21）/6 』•a
S=4pai•r^2=7/3 a^2 •pai

Answer 4

(7/3)πa^2（三分之七倍π乘以A的平方）

Answer 5

(7/3)*pai*(a2)