Question

数学题（2010年北京海淀模拟）

已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1
(1) 若x为正整数，试求f(x)的解析式
（2）若x为正整数，且x≥2时，不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，求实数a的范围.

Answer 1

（1）X为正整数：
令y=1,代进等式：f(x+1)=f(x)+f(1)+2(x+1)+1
f(x+1)=f(x)+1+2(x+1)+1
f(x+1)-f(x)=2x+4
所以： f(x)-f(x-1)=2(x-1)+4
……
f(4)-f(3)=2*3+4=10
f(3)-f(2)=2*2+4=8
f(2)-f(1)=2*1+4=6
上面x-1个等式等号左边右边分别累加：（找下等式的规律，合并同类项）
f(x)-f(x-1)+f(x-1)-f(x-2)…+f(3)-f(2)+f(2)-f(1)=2(1+2+3+…+x-1)+4(x-1)
左边加一个减一个都约掉了剩下： f(x)-f(1)=2*(1+x-1)*(x-1)/2+4x-4 (等差数列累加)
把f(1)=1带进去： f(x)=x^2+3x-3

结果就是f(x)=x^2+3x-3

（和之前那个答案不一样哎，我看了下方法都是一样的，貌似是他第一个等式漏掉一个+1了，f(n)+f(1)+2(n+1)+1应该等于f(n)+1+2(n+1)+1=f(n)+2n+4）

（2）这里最好画下图...我只想到用导函数结合图像特点来解，想不起来是啥时候学的了。应该学过导函数了哦？
f(x)=x^2+3x-3，x≥2的时候， 导函数f'(x)=2x+3恒大于零，知单调递增。再求导f''(x)=2，恒大于零，知道图像是下凹型的。呃，这个学过么？反正只要知道图像是开口向上的，而且x=2右边是单调递增的就行了...要不等式f(x)≥(a+7)x-(a+10)恒成立，可以把右边看做一条直线，f(x)的斜率一直在增大，在x=2时最小，极限的情况就是在x=2点相切就不会再和曲线有交点了。想下图像，就是说不会比f(x)大。即直线的斜率在x=2点要小于等于f(x)的斜率。a+7<=2*2+3, a<=0
x=2时 7>=(a+7)*2-(a+10),a<=3
所以结果是：a<=0

（呃，表达式不一样结果肯定也和他不一样了...这让我觉得悬的...好久没做这类的题，对自己的正确率不甚自信，希望没有误人子弟.........而且那个方法都忘记了，这样从图像特点做出来不晓得是否符合要求。心虚对手指，第二问不靠谱... 果然上大学会让大脑退化么...）

Answer 2

(1)f(n+1)=f(n)+f(1)+2(n+1)+1=f(n)+2n+3

f(n)-f(n-1)=2n+1

f(n-1)-f(n-2)=2n-1

...

f(2)-f(1)=5

f(n)-1=(n-1)(n+3),

f(x)=x^2+2x-2,x∈N

（2）令g(x)=(a+7)x-(a+10).g(x)过定点(1,-3)。f(x)的顶点为(1,1)。将原不等式看成是a的函数a>=-(x^2+9x-12)/(x-1)在x>=2的解用y=x-1替换

a>=-(y^2+11y-2)/y,y>=1.令h(y)=-(y^2+11y-2)/y.h‘(y)=-(y^2+2)/y^2<0

所以h(y)单调递减h(y)<=h(1)=10.所以a>=10