Question

在等腰三角形ABC中，顶角角A=36度，BD为角ABC的平分线，求AD比AC的值

Answer 1

作底边BC中线AE交BC于E,因为等腰三角形底边中线、高和顶角平分线重合，所以可得：

BE=CE   AE⊥BC   ∠BAE=∠CAE

∵AB=AC     ∠BAC=36°

∴∠ABC=∠C=72°     ∠BAE=∠CAE-18°

∵BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD=36°

同理可算出∠BDC=72°

∵∠BAC=∠ABD=36°     ∠BDC=∠C=72°

∴AD=BD    BD=BC  即AD=BC

∵CE/AC=sin18°    BE=CE

∴BC/AC=(BE+CE)/AC=BE/AC+CE/AC=2sin18°     而AD=BC

∴AD/AC=2sin18°≈0.618

Answer 2

在等腰三角形ABC中,顶角角A=36度,BD为角ABC的平分线
角ABC=角C=72°
角ABD=角CBD=36°=角A
所以AD=BD
角BDC=角A+角ABD=36°+36°=72°=角C
所以BC=BD
所以AD=BC
三角形BCD相似三角形ABC
AC/BC=BC/CD
AD^2=BC^2=AC*CD=AC*(AC-AD)
(AC/AD)^2-AC/AD-1=0
AC/AD=(1+5^(1/2))/2
或（1-5^(1/2))/2(舍去）
所以AD/AC=(5^(1/2)-1)/2