Question

pascal（3,2）是怎么求的？求详细过程。pascal（n，1）和pascal（n,2）分别是

pascal（3,2）是怎么求的？求详细过程。pascal（n，1）和pascal（n,2）分别是怎样的？

Answer 1

1、pascal这个函数最常用的调用方式是pascal(n)，即求n阶Pascal矩阵。Pascal矩阵是从Pascal三角（国内称为杨辉三角或贾宪三角）提取出来的矩阵，其重要性质包括：对称；正定；而且其逆矩阵的元素也都是整数。

 

2、pascal(n,1) 是n阶Pascal矩阵的下三角 Cholesky分解（但部分列的符号与 chol(P,'lower') 得到的结果有差别）。

 

所谓的 Cholesky分解，是指把矩阵分解为一个下三角矩阵以及它的共轭转置矩阵的乘积（那标量来类比的话，此分解就好像求平方根，所以分解方法又称平方根法）。与一般的矩阵分解求解方程的方法比较，Cholesky分解效率很高，大约是LU分解两倍。可以看作是当A满足特定条件时，LU三角分解法的一种特殊变形（但算法是完全不同的）。

Cholesky是生于19世纪末的法国数学家，曾就读于巴黎综合理工学院。Cholesky分解是他在学术界最重要的贡献。后来，Cholesky参加了法国军队，不久在一战初始阵亡。

 

以下代码演示了一些相关性质：

>> L=pascal(5,1);
>> L*L'
ans =
     1     1     1     1     1
     1     2     3     4     5
     1     3     6    10    15
     1     4    10    20    35
     1     5    15    35    70
>> P=pascal(5)
P =
     1     1     1     1     1
     1     2     3     4     5
     1     3     6    10    15
     1     4    10    20    35
     1     5    15    35    70
>> L*L
ans =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     0     0     0     1 
>> L
L =
     1     0     0     0     0
     1    -1     0     0     0
     1    -2     1     0     0
     1    -3     3    -1     0
     1    -4     6    -4     1
>> chol(P,'lower')
ans =
     1     0     0     0     0
     1     1     0     0     0
     1     2     1     0     0
     1     3     3     1     0
     1     4     6     4     1

 

3、pascal(n,2) 是对 pascal(n,1) 进行转置然后进行列的重排（左右翻转）得到的。该矩阵相当于单位阵的立方根：

>> L2=pascal(5,2);
>> L2^3
ans =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     0     0     0     1

 

4、从上面的介绍，很容易形成一种印象，即先有Pascal矩阵，然后通过Cholesky分解得到 pascal(n,1)。但实际的算法并非如此。MATLAB中的实际算法是，先计算出 L = pascal(n,1)，然后再通过 P = L*L' 得到Pascal矩阵。大致的算法如下：

n = 6;
L = diag((-1).^(0:n-1));
L(:,1) = 1;
for j=2:n-1
    for i=j+1:n
        L(i,j) = L(i-1,j) - L(i-1,j-1);
    end
end
P = L*L'

那么 pascal(n,2) 又是怎样求出来的呢？有了上面的 L = pascal(n,1)，后面的计算很简单，加上两句：

P2 = rot90(L,3);
if n/2 == round(n/2), P2 = -P2; end

就得到 pascal(n,2) 了。