Question

怎样证明这道高等代数的题，求过程

Answer 1

题目：f(x) 是复系数多项式，A是n阶复矩阵。f(A)可逆的充要条件是f(x)的根都不是A的特征值。

证明：首先f(A)可逆的充要条件是f(A)的行列式不为0。设f(x)的根是λ1,...,λn。那么f(x)=(x-λ1)...(x-λn)。所以 f(A)=(Α-λ1 I)...(Α-λn I)。这里 I 是单位阵。行列式 det f(A)= det (Α-λ1 I) ... det (Α-λn I) 。所以题目变成了 det (Α-λ1 I) ... det (Α-λn I) 不等于0的充要条件是 λ1,...,λn不是A的特征值。

所以 只要证明 λi 是A的特征值 等价于 det (A - λi I) = 0。这个基本上根据定义就能得到。

追问

谢谢！