Question

如图,C是 AD 的中点,CF⊥AB,F为垂足. (1)求证:△AEC是等腰三角形.

如图，C是 AD 的中点，CF⊥AB，F为垂足．（1）求证：△AEC是等腰三角形．（2）设AB=4，∠DAB=30°，求CE的长．
如图，C是弧 AD 的中点，CF⊥AB，F为垂足．

（1）求证：△AEC是等腰三角形．（2）设AB=4，∠DAB=30°，求CE的长．

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Answer 1

1、连接OC，交AD于G
∵C是弧AD中点
∴OC⊥AD
∵CF⊥AB，那么RT△AOG和RT△OCF中
∠OAG=90°-∠AOC，∠OCF=90°-∠AOC
∴∠OAG=∠OCF
∵OC=OA(半径）
∴∠OAC=∠OCA
那么∠OAC-∠OAG=∠OCA-∠OCF
∴∠CAE=∠ACE
∴△AEC是等腰三角形
2、∵∠DAB=30°
∴弧BD=2∠DAB=60°
∴弧AD=180°-弧BD=120°
∴弧AC=1/2弧AD=60°
∴∠AOC=60°
∵OA=OC，∠AOC=60°
∴△AOC是等边三角形，那么AC=OA=1/2AB=2
∠CAO=60°
∴RT△ACF中：∠ACF=30°
那么AF=1/2AC=1/2×2=1
∵RT△AEF中：∠EAF=∠DAB=30°
∴EF=1/2AE
那么勾股定理：AE²=EF²+AF²
AE²=(1/2AE)²+1²
3/4AE²=1
AE²=4/3，AE=2√3/3
∴CE=AE=2√3/3

Answer 2

连接CD,角CAD=角DCA，再用一个等量代换就出来了