三角函数有没有极限呢?能不能说趋于 0时的极限是0

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拉布拉多的夜猫
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极限必须结合函数所趋近于的点来说,才有意义。只能说正弦函数和正切函数在x趋近于0的时候,极限是0。如果是余弦函数,那么当x趋近于0的时候,极限是1。余切函数当x趋近于0的时候,极限是无穷大。不同的三角函数在x趋近于0的时候极限不一样。

一、三角函数:

1、定义:

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。

2、相关概念:

①、正弦:sine(简写sin)[sain],

②、余弦:cosine(简写cos)[kəusain],

③、正切:tangent(简写tan)['tændʒənt],

④、余切:cotangent(简写cot)['kəu'tændʒənt],

⑤、正割:secant(简写sec)['si:kənt],

⑥、余割:cosecant(简写csc)['kau'si:kənt],

⑦、正矢:versine(简写versin)['və:sain],

⑧、余矢:coversed sine(简写covers)[kəu'və:sə:d][sain]。

3、三角关系:

①、倒数关系:cotα*tanα=1,

②、商的关系:sinα/cosα=tanα,

③、平方关系:sin²α+cos²α=1。

4、三角规律:

六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值,实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2弧度之间的角。它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等式是:x^2+y^2=1。

5、重要定理:

①、正弦定理:

正弦定理:在△ABC中,a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

其中,R为△ABC的外接圆的半径。

②、余弦定理:

余弦定理:在△ABC中,b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。

其中,θ为边a与边c的夹角。

6、常用公式:

①、诱导公式:

公式一: 

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

sin(α+k*2π)=sinα (k为整数)

cos(α+k*2π)=cosα(k为整数)

tan(α+k*2π)=tanα(k为整数)

公式二:

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

sin[(2k+1)π+α]=-sinα

cos[(2k+1)π+α]=-cosα

tan[(2k+1)π+α]=tanα

cot[(2k+1)π+α]=cotα

公式三:

任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

sin(2k-α)=-sinα

cos(2k-α)=cosα

tan(2k-α)=-tanα

cot(2k-α)=-cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin[(2k+1)π-α]=sinα

cos[(2k+1)π-α]=-cosα

tan[(2k+1)π-α]=-tanα

cot[(2k+1)π-α]=-cotα

公式五:

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

sin(2kπ-α)=-sinα

cos(2kπ-α)=cosα

tan(2kπ-α)=-tanα

cot(2kπ-α)=-cotα

公式六:

π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

sin(π/2+α)=cosα

cos(π/2+α)=-sinα

tan(π/2+α)=-cotα

cot(π/2+α)=-tanα

sin(π/2-α)=cosα

cos(π/2-α)=sinα

tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα

②、和差角公式:

(1)、三角和公式:

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanα·tanγ)

(α+β+γ≠π/2+2kπ,α、β、γ≠π/2+2kπ)

(2)、积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

(3)、和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

xindongreneu
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首先你这个提问就是错误的。
“三角函数有没有极限”,根据极限的定义:设f(x)在x=x0的某个去心邻域内有定义,如果存在常数a,对于任意给定的正数k,总存在正数m使得当0<|x-x0|<m时,对应的函数值都满足|f(x)-a|<k,则把a称为当x→x0时,f(x)的极限。
由这个定义就可以看到,我们必须说是当x趋近于哪个数或趋近于无穷大时,f(x)有没有极限。极限必须结合函数所趋近于的点来说,才有意义。没说趋近于哪个点,就直接说某个函数有极限或没极限,都是错误的说法。
然后我们看所谓的极限的唯一性,是说任何函数在趋近于某个点时,它的极限情况是唯一的,是否有极限,是否极限为无穷大,有极限时,极限是多少,这些都将是唯一的。但是同一个函数在趋近于不同的点的时候,极限可能相同,也可能不相同。
所以你问能不能说能不能说趋于 0时的极限是0?只能说正弦函数和正切函数在x趋近于0的时候,极限是0。如果是余弦函数,那么当x趋近于0的时候,极限是1,余切函数当x趋近于0的时候,极限是无穷大。不同的三角函数在x趋近于0的时候极限不一样。
根据你问的,估计你是说正弦函数,那么正弦函数在x趋近于0和趋近于π以及趋近于kπ(k是整数)时,正弦函数的极限都是0,这没问题啊。因为这是趋近于不同的点,极限相同或不相同,都没啥奇怪的。
当然正线函数和余弦函数、正切函数和余切函数当兴趋近于无穷大的时候,极限不存在。
所以不能问“三角函数有没有极限”而应该问“某个三角函数(说出具体的函数来)在x趋近于某个点(说出具体的点来)的时候有没有极限”,这样才能回答。
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匿名用户
2015-10-21
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可是趋于π时也是0啊
趋于2π时也是0
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