Question

数学分析数列极限证明题（图中第六题）求大神！

Answer 1

【俊狼猎英】团队为您解答~
用定义证，
对任意小的正数ε<1，存在自然数N1，当n>N1时，
同时有|an-a|<ε，|bn-b|<ε
从而|Σ(i=1~N1)aib[n+i-i]|<=Σ(i=1~N1)|ai|(|b|+ε)=A(常数，设为A)
|Σ(i=1~N1)bia[n+i-i]|<=Σ(i=1~N1)|bi|(|a|+ε)=B
|Σ(i=N1+1~n-N1)aib[n+i-i]/n-ab|
<=2N1|ab|/n+(n-2N1)(|a|ε+|b|ε+ε^2)/n
<2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n+(|a|+|b|+1)ε
存在自然数N2，使得n>N2时
(A+B)/n<ε
2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n<ε
从而|Σ(i=1~n)bia[n+i-i]/n-ab|
<=(A+B)/n+2N1|ab|/n+2N1(|a|+|b|+1)ε/n+(|a|+|b|+1)ε
<(|a|+|b|+3)ε
由定义即证

Answer 2

只需证明a=b=0的情况，余下的用线性性得到
a=b=0时可以用Cauchy不等式把ai和bi分离开