Question

二次型的正交变换化标准型和合同变换化标准型有什么不同？都是只有平方项了，几何意义上不都是换坐标轴成

二次型的正交变换化标准型和合同变换化标准型有什么不同？都是只有平方项了，几何意义上不都是换坐标轴成对称的吗

Answer 1

一、变换不同：

正交变换的标准形，平方项前面的系数是它的特征值。而合同变换不是的。

二次型可以用正交变换化成标准形，所化成的标准形中平方项的系数是二次型矩阵的特征值；

二、几何意义不同：

可以用一般的合同变换化成标准形，正交变换是特殊的合同变换。

正交变换相当于几何中的坐标旋转，因此它不会改变图形的形状。

三、作用不同：

比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示两条直线，用正交变换把左边的二元二次型化成标准形是2y1^2, 在新直角坐标系下曲线的方程是2y1^2=1, 还是两天直线。

一般的合同变换化成的标准形不唯一，因此它没有明显的几何意义，如x1^2+4x2^2=1是椭圆，但左边的二次型可用合同变换化成y1^2+y2^2，方程就化成园的方程了。

扩展资料：

性质1：正交变换的乘积仍是正交变换。

性质2：恒等变换是正交变换。

(1) 正交变换把共线的三点变成共线的三点，且保持它们的顺序不变。

(2) 正交变换把不共线的三点变成不共线的三点。

证： 设A，B，C是共线的三点，且B位于A，C之间，正交变换σ把A，B，C分别变成A'，B'，C'，则|A'B'|=|AB|，|A'C'|=|AC|，|B'C'|=|BC|，由假设，|AB|+|BC|=|AC|，则|A'B’|+|B'C'|=|A'C'|，这表明A'，B'，C'三点共线，且B'在A'C'之间。

参考资料来源：百度百科-平面正交变换

Answer 2

二次型可以用正交变换化成标准形，所化成的标准形中平方项的系数是二次型矩阵的特征值，也可以用一般的合同变换化成标准形，正交变换是特殊的合同变换。正交变换和普通的合同变换几何意义是不同的，正交变换相当于几何中的坐标旋转，因此它不会改变图形的形状，比如x1^2+2x1x2+x2^2=1表示两条直线，用正交变换把左边的二元二次型化成标准形是2y1^2, 在新直角坐标系下曲线的方程是2y1^2=1, 还是两天直线。一般的合同变换化成的标准形不唯一，因此它没有明显的几何意义，如x1^2+4x2^2=1是椭圆，但左边的二次型可用合同变换化成y1^2+y2^2,方程就化成园的方程了。

Answer 3

正交变换的标准形，平方项前面的系数是它的特征值。而合同变换不是的。