Question

椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF乘以向量FB=1,｜向量OF｜=1(椭圆焦点在X轴上)

椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且向量AF乘以向量FB=1,｜向量OF｜=1(椭圆焦点在X轴上)
(1)求椭圆的标准方程
(2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为三角形PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

由题，c=1，a-c=1，所以a=2，b=√3，方程为x^2/4+y^2/3=1；
第二问；√3y-x-3=0满足。
解法；由F为垂心所以MF与直线PQ垂直，得出直线斜率1/√3；
设直线PQ：√3y-x+b=0
同时由题满足MP垂直于QF，通过设点坐标得，（1）y1y2+x1x2=√3y1-x2=x1+x2-b
将直线带入椭圆方程得：（2）x1x2=4b^2-36/1^23 ; （3) y1y2=（3b^2-12）/13;(4) x1+x2
联立1234式解得b=-3或b=16/7（舍）
综上；√3y-x-3=0满足条件