Question

如何证明高阶无穷小之间的运算法则

Answer 1

严格的说，遇到小o的地方应理解为集合的运算，
比如o(f(x))+o(f(x))=o(f(x))，表示为
从第一个集合中任取一个元素，记为g1(x)，即lim g1(x)/f(x)=0;
从第二个集合中任取一个元素，记为g2(x)，即lim g2(x)/f(x)=0；
则g1(x)+g2(x)属于第三个集合，即
必有lim (g1(x)+g2(x))/f(x)=0。
因此o(x^2)=o(x)是正确的。
比如f(x)+o(g(x))=o(h(x))写法也是允许的，表示
从o(g(x))这个集合中取元素，记为f2(x)，则
f(x)+f2(x)是位于o(h(x))这个集合。

Answer 2

1. 同高阶无穷小加减。

2. 高阶无穷小与冥函数之乘积。

3. 高的高阶无穷小与低的高阶无穷小之商。

4. 有界函数与高阶无穷小乘积。

5. 常数与高阶无穷小乘积。

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。

设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小。