Question

第五大题的第三小题，定积分的应用，参数方程怎么算旋转体的体积。

Answer 1

因为摆线的方程为 x=a（t-sin t），y=a（1-cos t），0<t<2π。其中x的范围为0<x<2πa。令参数方程所围成的旋转体的体积为V。

所以 V=∫π*(y^2）*dx，其中积分区域为[0，2πa]，且 dx=x′ dt=a（1-cos t）dt。

即 V=π∫[a（1-cos t）]^2*a（1-cos t）dt=π*a^3*∫（1-cos t）^3dt，其中积分区域为[0，2π]

由三角函数关系式知道，cos t=1-2sin^2（t/2）,代入得到

V=π*a^3*∫[1-（1-2sin^2（t/2））]dt，再令u=t/2，代入化简得

V=4π*a^3*∫sin^2（t/2）d（t/2）=4π*a^3*∫sin^2（u）du，其中积分区域为[0，π]。

继续得 V=8π*a^3*∫sin^2（u）du，其中积分区域为[0，π/2]

然后得 V=8π*a^3*（1/2）*（π/2）=2*π^2*a^3 。

扩展资料：

摆线面积的求法

一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定

微分，

于是可以求得

其中r为参数。

Answer 2

Answer 3

定积分可以求体积，面积，弧长，这些在书上都有介绍并且有公式。

Answer 4

有的大学去参加这静静的问题，才认识想选择选择题及是否可以？