Question

在半径为1的圆上随机地取两点，形成一条弦，则其常超果园内接等边三角形的变长的概率为？？？

Answer 1

在圆上做一等边三角形ABC，从A做弦AD,D如果落在C和B之间的圆弧上，则AD>AB=AC=BC，
可知，弧BC为圆周的1/3,
所以题目所求概率为1/3。

Answer 2

解（一）任何弦交圆两点，不失一般性，先固定其中一点在圆周上，以此点为顶点作一等边三角形，显然只有落如此三角形内的弦才满足要求，这种弦的另一端跑过的弧长为整个圆周的1/3，故所求概率为1/2
（二）弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关，因此可以假定它与某一直径，当且仅当它与圆心的距离小于 1/2 时，其长度才大于sqrt(3) ，因此所求概率为 1/3
（三）弦长被其中心唯一确定，当且仅当其中点属于半径为 1/2 的同心圆内时，弦长大于sqrt(3) ，此小于圆的面积为大圆面积的1/4 ,因此所求的概率为1/4

同一问题有三种不同的答案，细究原因，发现是在取弦时采用不同的等可能性假设。在第一种解法中，假定端点在圆周上均匀分布，在第二种解法中则假定弦的中心在直径上均匀分布，而第三种解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布。这三种答案是针对三种不同的随机试验，对于各自的随机试验而言，它们都是正确的。

Answer 3

固定一点，另一点任取。所求概率1/3