Question

第19题怎么做？？急求大神解答！！

Answer 1

1）f(x)单调减，S=f(a)-f(b)=f(-1)-f(1)=4
2）f'(x)=(e^x-xe^x)/e^(2x)=(1-x)/e^x，
f(x)在(0,1)单增，(1,2)单减
S<=f(1)-f(0)+f(1)-f(2)=2(e-1)/e^2
等号成立当且仅当存在xk=1，2<=k<=n-1
3）f'(x)=k/x-x=(k-x^2)/x
分段讨论
k<1，f(x)在[1,e]单减，S=f(1)-f(e)=(e^2-1)/2-k
k>e^2，f(x)在[1,e]单增，S=f(e)-f(1)=k+(1-e^2)/2
1<=k<=e^2，f(x)在[1,√k]单增，[√k,e]单减
类似第二问，S<=f(√k)-f(1)+f(√k)-f(e)
=klnk+(1+e^2)/2-2k
=k(lnk-2)+(1+e^2)/2
<=(1+e^2)/2
第二个等号当且仅当k=e^2时成立
从而取A=(1+e^2)/2即满足性质V的条件

其实这个题就是求导求单调性，和性质V太大关系，基本任何[a,b]上有界函数都满足性质V，除了有无限个峰谷的，比如sin(1/x)在[0,1]（补充定义f(0)=0）