Question

几道微积分题求解答，上面的12，15，下面的5，11

Answer 1

换元
12）t=cosx，0<=x<π，dt=-sinxdx

1+cosx=2cos(x/2)^2，1-cosx=2sin(x/2)^2
原积分=-∫tan(x/2)sinxdx=-2∫sin(x/2)^2dx=-∫1-cosxdx=-x+sinx+C=√(1-t^2)-arccost+C
15）分子分母同乘以e^(-x)，令t=e^(-x)，dt=-e^(-x)dx
原积分=-∫dt/√(t+t^2)=-∫d(2t+1)/√[(2t+1)^2-1]
再换元2t+1=secu，原积分=-∫secudu=ln(secu+tanu)+C
这个写出来看不清楚就不换回x了
5）令t=sinx，dt=cosxdx
原积分=∫2te^tdt=2∫td(e^t)=2te^t-2∫d^tdt=(2t-2)e^t+C=(2sinx-2)e^(sinx)+C
11）令t=√(3x+9)，则x=(t^2-9)/3，dx=2tdt/3
原积分=2/3∫te^tdt=2te^t/3-2/3∫e^tdt=2(t-1)e^t/3+C
=2(√(3x+9)-1)e^√(3x+9)/3+C