Question

已知函数y=f(x)是奇函数,在区间0到正无穷上是减函数,且f(x)小于0,

试判断F(x)=1/(f(x))在区间负无穷到0上的单调性，并证明结论。

Answer 1

F(x)在区间负无穷到0上单调递增
证明：令x1＜x2，而函数y=f(x)是奇函数,在区间0到正无穷上是减函数,f(x)小于0, 则在R上都是减函数，f(x1)＞f(x2)，且当x＜0时，f(x)＞0（奇函数关于原点对称）
F(x1)-F(x2)=1/f(x1)-1/f(x2)=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]。因为当x＜0时，f(x1)＞0，f(x2)＞0，则
f(x1)f(x2)＞0.因为f(x1)＞f(x2)，所以f(x2)-f(x1)＜0，所以F(x1)-F(x2)＜0，即F(x1)＜F(x2)
因为x1＜x2，所以F(x)在区间负无穷到0上单调递增。