Question

高数这个题有没有学霸会做的谢谢啦

Answer 1

　　解：分享一种解法。
　　由题设条件，有y=6-x，1≤x≤6。
　　∴Z=xy(4-x-y)=-2x(6-x)=2x(x-6)=2(x-3)^2-18。
　　显然，Z关于x=3对称，在x∈(3,6)时，单调增、在x∈(1,3)时，单调减。而x=1时，Z=-10、x=6时，Z=0、x=3时，Z=-18。
　　∴在所限定的区域，Zmin=-18，Zmax=0。供参考。

追问

答案不对

可以再看看吗

追答

　　不好意思，漏了驻点的判断。求出Z对x、y的偏导数，并且令其为0，得驻点（4/3,4/3）、(4,0)，且均在围成的闭区域内。
　　再求出二阶偏导数Zxx、Zxy、Zyy在驻点的值。
　　在驻点（4/3,4/3），A=Zxx=-2y=-8/3、B=Zxy=4-2x-2y=-4/3、C=Zyy=-2x=-8/3。∴AC-B^2=64/9-16/9>0，∴在（4/3,4/3）有极大值(4/3)^3。
　　在驻点（4,0），A=Zxx=0、B=Zxy=-4、C=Zyy=-8，∴AC-B^2=0-16<0，∴在（4,0）无极值。
　　∴在所限定的区域，Zmin=-18，Zmax=(4/3)^3。供参考。

追问

那两个驻点是怎么求出来的

最大值为什么直接就看出是三分之四的三次方

这个看不懂

具体是怎么化简的

可以解答一下吗

谢谢谢谢谢谢谢学

谢谢谢谢

追答

　　求出Z对x、y的偏导数，并且令其为0，Zx=y(4-x-y)-xy=0，Zy=x(4-x-y)-xy=0。联立求解，得驻点（4/3,4/3）、(4,0)，且均在围成的闭区域内。

　　再求出Z的二阶偏导数Zxx、Zxy、Zyy在驻点的值。
　　在驻点（4/3,4/3），A=Zxx丨(x=y=4/3)=-2y(x=y=4/3)=-8/3、B=Zxy(x=y=4/3)=(4-2x-2y)丨(x=y=4/3)=-4/3、C=Zyy丨(x=y=4/3)=-2x丨(x=y=4/3)=-8/3。∴AC-B^2=64/9-16/9>0，g根据多元函数极值的充分条件，∴在（4/3,4/3）有极大值，其值=xy(4-x-y)=(4/3)^3。
　　同理，在驻点(4,0)，A=Zxx=0、B=Zxy=-4、C=Zyy=-8，∴AC-B^2=0-16<0，根据多元函数极值的充分条件，∴在（4,0）无极值。
　　【前面讨论的是驻点的极值问题，再讨论边界的极值问题】由题设条件，有y=6-x，1≤x≤6。将y代入Z，有Z=xy(4-x-y)=-2x(6-x)=2x(x-6)=2(x^2-6x)=2(x^2-6x+9-9)=2(x-3)^2-18。　　显然，此时Z关于x=3对称，在x∈(3,6)时，单调增、在x∈(1,3)时，单调减。而x=1时，Z=-10、x=6时，Z=0、x=3时，Z=-18。
　　∴在所限定的区域，Zmin=-18，Zmax=(4/3)^3。供参考。

追问

谢谢

我就是不知道联立是怎么得到三分之四这个解

这个式子代换变形我不会

看不出来

可以解答一下吗

谢谢啦

追答

　　Zx=y(4-x-y)-xy=0①，Zy=x(4-x-y)-xy=0②。
　　由①得，y(4-2x-y)=0。题设条件有y=0，∴y=0，4-2x-y=0③。
　　由②得，x(4-x-2y)=0。题设条件有x≠0，∴4-x-2y=0④。
　　∴将y=0代入④，x=4。再将③中的4-2x-y=0与④联解，得x=y=4/3。即得驻点(4,0)、(4/3,4/3)。供参考。